Pour RUSSELL « la logique moderne (en 1914) a pour effet d'élargir notre imagination abstraite et de fournir un nombre infini d'hypothèses éventuellement applicables à n'importe quel fait complexe. L'ancienne logique ( la logique classique : principalement celle d'Aristote) réduisait la pensée à l'esclavage. La logique nouvelle lui donne des ailes.». ( in Notre connaissance du monde extérieur).
La logique moderne : une révolution galiléenne ! ….euh !!
Selon GÖDEL, la logique mathématique n'est rien d'autre qu'une formulation précise et complète de la logique formelle.
La difficulté de la logique tient au fait que d'une part c'est un lieu où l'attente d'un maximum de clarté et de précision prévaut et que d'autre part les notions mises en jeux dès le commencement sont complexes et philosophiquement profondes.
Un développement assez long des questions formelles liées au langage introduit est nécessaire afin d'accéder à une vue nette entre le langage ordinaire (où sont construits les raisonnements usuels) et langage artificiel (formalisé).
La logistique est la première logique formelle construite de façon strictement synthétique.
Soit : elle est la première logique qui monte méthodiquement du simple au complexe.
C'est FREGE à qui l'on doit la première entreprise de construction d'un langage formalisé .
La logique symbolique ou logique mathématique n'est rien d'autre que l'étude de la logique procédant d'un tel langage. On parle à ce propos de méthode logistique . CHURCH 1956 : sans confondre cet usage du terme « logistique » avec la doctrine suivant laquelle les mathématiques sont réductibles à la logique.
Pour justifier la construction d'un langage artificiel pour l'étude de la logique, on insiste sur l'ambiguïté dans les langues naturelles de certains mots essentiels destinés à représenter des connexions logiques : de là l'introduction de symboles spéciaux, au sens défini, sans équivoque pour remplacer les locutions et les tournures dont les rôles sont difficiles à cerner avec exactitude.
Au-delà de l'ambigüité sémantique un autre motif conduit à la construction d'un langage artificiel c'est les « ambigüités de groupement » !
De nombreux énoncés du langage ordinaire sont stylisés pour être admis comme valides sous la forme P ou non P. Cette réduction à un patron commun est vieille comme la logique et semblable, pour les propositions, à la forme canonique des syllogismes d'Aristote.
La ressemblance grammaticale peut être logiquement trompeuse , et la déductibilité d'une conclusion de certains prémisses n'est pas toujours aisée. Des règles de transformations limitées permettraient d'éviter toute erreur. Ce qui est but de la construction d'un langage formalisé !
L'entreprise de formalisation commence par la description et l'étude de la composante purement formelle du langage, abstraction faite de toute considération de sens.
1- L'alphabet ou vocabulaire est spécifié par une liste de symboles qui seront les seuls à être utilisés (du moins comme symbole du langage). Ces symboles primitifs peuvent être en nombre finis ou infinis, s'ils sont infinis, on devra toujours pouvoir décider devant un symbole inconnu s'il fait partie des symboles primitifs du langage considéré.
-Une suite quelconque finie de symboles primitifs constitue une expression . Ce qui ne veut pas dire qu'elle exprime un sens ! Usage malheureux ici de ce terme mais attesté !
Lorsqu'un symbole primitif figure dans une expression on parle d' occurrence de ce symbole dans l'expression. Le nombre d'occurrences de symboles dans une expression est appelé la longueur de l'expression, ainsi le mot « illogique » comporte deux occurrences de la lettre « i » (la première, la seconde, …) et a une longueur d'expression de « 9 ».
2-Des règles dites règles de formation sont données, par lesquelles certaines expressions sont mises à part et considérées comme bien formées (elles équivalent aux expressions reconnues comme grammaticales d'une langue naturelle).
Ces expressions sont parfois dites expressions bien formées (ebf) ou formules , terme ici préféré !
La définition des formules par des règles de formation sera telle que devant une expression donnée on disposera d'une méthode effective pour décider si oui ou non cette expression est une formule.
La spécification d'un langage par sa base primitive comporte toujours la donnée d'un alphabet et de règle de formation. Peuvent appartenir à la base primitive la donnée d'un certain nombre de formules à titre de formules primitives ou axiomes ; et des règles de transformation ou règles d' inférences ( déduction ), conformément auxquelles, à partir de certaines formules considérées comme prémisses , une formule peut être déduite (inférée) à titre de conclusion.
Bien que la construction d'un langage formel procède sans que l'on attache de sens aux symboles primitifs ni aux formules, on a ordinairement en vue une interprétation, et certaines interprétations peuvent être tenues pour une paraphrase du langage ordinaire ou d'un langage semi-ordinaire comme les énoncés mathématiques !
En général la terminologie utilisée dans la description et la classification des symboles et expressions (symboles d'énoncés, connecteurs..) préfigure dès l'étape formelle la signification ou la fonction qui leur sera attachée ultérieurement.
Un langage formel (1)auquel est associée une interprétation par des règles sémantiques devient un langage formalisé au sens plein.
Mais(2) nous suivons RIVENC :
Les symboles primitifs du langage sont :
( , ), ¬, 
, 
, →, ↔,
ou symboles logiques , les deux premiers étant appelés parenthèse ouvrante et parenthèse fermée, les autres connecteurs ;
Et une liste infinie (dénombrable) de symboles d'énoncés ou d'atomes :
p q r s p1 q1 r1 s1 p2 q2…
(ici l'ordre des atomes est alphabétique). Les virgules de la première liste et les points de suspension de la seconde ne sont pas des symboles mais des signes de ponctuation utilisés en écrivant ces symboles.
Les connecteurs doivent être lus (traduits) ainsi :
¬ : non : et : ou → : si … alors ↔ : si et seulement si
Une expression de L p est une suite finie de symboles primitifs ; par exemple :
P53 , )) ¬ q, ( p → q ) ,
sont des expressions.
Pour pouvoir poursuivre l'étude de notre langage formel, nous avons besoin d'utiliser un langage dans lequel nous pourrons parler de notre langage-objet et établir certaines de ses propriétés. Ce langage sera ici une partie du français usuel, enrichie de notations et de termes mathématiques : un tel langage sera dit un méta-langage ou langage de l'observateur (après avoir étudié le traitement formalisé de la syntaxe on pourra aussi le nommer : syntaxe , ou langage syntaxique ).
Nous devons disposer dans le méta-langage :
premièrement de noms des symboles, expressions et formules du langage objet ;
Et deuxièmement de variables qui nous permettrons de parler de manière générales de symboles ou d'expressions d'une certaine forme (des variables dont les valeurs possibles sont les symboles ou expressions du langage-objet, ou dont le « domaine de valeurs » est constitué des symboles et expressions du langage-objet) ; bref, de constantes et de variables syntaxiques.
* Le texte ci-dessus est (très) fortement inspiré du livre de François Rivenc : Introduction à la Logique. Pbp 14.
( Nous avons essayé de condenser le propos, exercice difficile qui suit souvent au plus près le texte originel pour ne pas trahir la précision nécessaire à son objet ! ) (Au mieux nous aurons réussi à ne pas en dénaturer le contenu, pour une lecture encore plus précise se reporter au texte lui-même) ↑
1)
(note technique : kunsler script pour le lettrage ! et clic droit sur la lettre p et dans Police clique indice pour Dreamweaver 2004 ) ↑
2)Note sur la notion de langage pour la logique : nous proposons l'expression : « système d'écriture » plutôt que langage (considérant qu'un langage est écrit et parlé, et par exemple les mathématiques sont une écriture et non un langage... à débattre !). ↑